Сложный процент: что это простыми словами и как он работает

Допустим, 100 000 ₽ лежат под 10% годовых. Через 30 лет при простых процентах на счёте будет 400 000 ₽, при сложных около 1 745 000 ₽. Ставка одна и та же, разница больше миллиона. Сложный процент начисляет доход не только на исходную сумму, но и на проценты, заработанные раньше, поэтому капитал растёт не по прямой, а с ускорением. Ниже формула сложного процента, расчёт на примерах вклада и регулярных взносов, правило 72 для быстрой прикидки, расчёт в Excel и случаи, когда тот же механизм работает против вас.

Что такое сложный процент и чем он отличается от простого

Простой процент каждый год начисляется на одну и ту же исходную сумму. Сложный процент каждый год начисляется на сумму, которая уже выросла за счёт прошлых процентов. Другими словами, проценты на проценты: заработанное не забирается, а снова пускается в работу.

Те же 100 000 ₽ под 10% годовых, первые три года:

В первый год разницы нет вовсе. Во второй сложный процент приносит на 1 000 ₽ больше, потому что 10% считаются уже от 110 000 ₽. В третий год прибавка 2 100 ₽. Мелочь, на которую на коротком сроке никто не обращает внимания.

А теперь тот же расчёт на длинной дистанции:

Простой процент растёт ровной лестницей: каждые 10 лет плюс 100 000 ₽. Сложный за первые 10 лет добавляет около 159 000 ₽, за следующие 10 уже около 413 000 ₽, за третье десятилетие больше миллиона. График сложного процента поэтому похож на хоккейную клюшку: долго почти горизонтально, потом резко вверх.

Эффект сложного процента держится на четырёх вещах:

• ставка: чем она выше, тем быстрее разгон;
• срок: основная часть дохода приходится на последние годы, а не на первые;
• реинвестирование: если проценты снимать и тратить, сложный процент превращается в простой;
• частота начисления: ежемесячная капитализация даёт чуть больше, чем ежегодная, при той же ставке.

Главных из них два: срок и то, что проценты остаются в деле. Ставку частный инвестор контролирует слабо, а время и дисциплину контролирует полностью.

Итог: сложный процент не делает денег из воздуха. Он просто не даёт заработанному простаивать.

Формула сложного процента

Базовая формула сложного процента для разового вложения выглядит так:

`` S = P × (1 + r)^t ``

Здесь S означает итоговую сумму, P начальную сумму, r годовую ставку в долях (10% это 0,10), t число лет. В школьной алгебре, в 10–11 классе, та же формула пишется через проценты: S = S₀ × (1 + p/100)^n, где p ставка в процентах, n число периодов. Смысл один.

Проверка на примере выше: 100 000 × 1,1^10 = 259 374 ₽. Доход считается вычитанием: 259 374 − 100 000 = 159 374 ₽.

Формула с капитализацией n раз в год

Банки и брокеры редко начисляют проценты раз в год. Если капитализация идёт ежемесячно или ежеквартально, годовая ставка делится на число начислений, а степень умножается на него:

`` S = P × (1 + r/n)^(n × t) ``

n означает число начислений в год: 1 для ежегодной капитализации, 4 для ежеквартальной, 12 для ежемесячной, 365 для ежедневной.

Допустим, 500 000 ₽ вложены на 3 года под 12% годовых. Пересчёт для разной частоты:

Переход от ежегодной капитализации к ежемесячной добавил почти 13 000 ₽. А вот от ежемесячной к ежедневной всего около 1 200 ₽: чем чаще начисление, тем меньше каждая следующая прибавка. Дальше ряд упирается в предел, так называемое непрерывное начисление по формуле S = P × e^(r × t), и для этого примера он равен примерно 716 665 ₽. От ежедневной капитализации отличие в несколько десятков рублей.

Последняя колонка показывает эффективную ставку, то есть доходность за год с учётом капитализации:

`` Эффективная ставка = (1 + r/n)^n − 1 ``

По ней удобно сравнивать предложения с разной частотой начисления. 12% с ежемесячной капитализацией дают за год 12,68%, это больше, чем 12,5% с выплатой раз в год.

Формула с регулярными пополнениями

Большинство людей не кладут деньги один раз, а докладывают каждый месяц. Для одинаковых взносов в конце каждого периода работает формула будущей стоимости аннуитета:

`` FV = PMT × ((1 + i)^N − 1) / i ``

PMT означает сумму взноса, i ставку за период (при ежемесячных взносах годовая ставка делится на 12), N общее число взносов. Если на старте уже есть сумма P, к результату прибавляется её рост: P × (1 + i)^N.

Если взносы вносятся в начале периода, итог умножается ещё на (1 + i): каждый взнос успевает поработать на один месяц дольше.

Шесть функций сложного процента

В оценке бизнеса и недвижимости формулы выше собраны в таблицу из шести функций. Каждая отвечает на свой вопрос, i здесь ставка за период, N число периодов.

Частному инвестору чаще всего нужны первые три строки. Последняя знакома всем, у кого есть кредит: по ней банк считает аннуитетный платёж.

Расчёт сложного процента на примерах

Ниже три типичные ситуации с пошаговым расчётом. Все ставки условные: доходность в примерах выбрана для наглядности, а не как ожидание от рынка.

Пример 1. Разовый вклад с капитализацией

Допустим, 200 000 ₽ положены на 2 года под 14% годовых с ежемесячной капитализацией.

1. Ставка за месяц: 14% / 12 ≈ 1,1667%, или 0,011667 в долях.
2. Число начислений: 2 × 12 = 24.
3. Множитель: (1 + 0,011667)^24 ≈ 1,3210.
4. Итог: 200 000 × 1,3210 ≈ 264 197 ₽, доход около 64 197 ₽.

При простых процентах доход составил бы 200 000 × 0,14 × 2 = 56 000 ₽. Капитализация добавила около 8 200 ₽. На вкладе такой расчёт имеет свои оговорки: ставка действует только до конца срока, при пролонгации она другая, а с процентов выше необлагаемого лимита удерживается налог. Как банки прописывают капитализацию в договоре и на что смотреть, разобрано в статье про капитализацию процентов по вкладу.

Пример 2. Регулярные взносы

Допустим, вы откладываете 5 000 ₽ в месяц под условные 10% годовых с ежемесячным начислением. Ставка за месяц 10% / 12, взносы в конце месяца.

Через 5 лет проценты дают меньше трети своих взносов. Примерно на 13-м году проценты обгоняют внесённую сумму, а через 30 лет на каждый свой рубль приходится больше пяти рублей процентов. Последние 10 лет из 30 приносят больше, чем первые 20 вместе.

Если к тем же взносам добавить стартовые 100 000 ₽, через 20 лет выйдет около 4 529 652 ₽: стартовая сумма сама вырастет до 732 807 ₽. Прогнать свои цифры, со стартовой суммой и пополнениями, можно в калькуляторе сложного процента.

Вывод: раннее начало важнее размера взноса. Тот, кто начал на 10 лет раньше, обгоняет того, кто вносит вдвое больше, но позже.

Пример 3. Одна ставка, разная частота

Здесь хватает таблицы из раздела про формулу: 500 000 ₽ на 3 года под 12% дают от 702 464 ₽ при ежегодной капитализации до 716 622 ₽ при ежедневной. Разница около 14 000 ₽, то есть примерно 2% от итога. Частота начисления важна, но ставка и срок важнее в разы. Выбирать вклад только по слову «капитализация» в рекламе бессмысленно, если ставка у соседнего предложения на процент выше.

Правило 72: за сколько лет удвоятся деньги

Правило 72 считает срок удвоения капитала в уме: 72 делится на годовую доходность в процентах. При 8% годовых деньги удвоятся примерно за 72 / 8 = 9 лет, при 12% примерно за 6 лет. Правило известно минимум с 1494 года: его приводит итальянский математик Лука Пачоли в трактате «Сумма арифметики».

Обратная задача решается так же. Нужно удвоить сумму за 6 лет? 72 / 6 = 12, значит, доходность должна быть около 12% годовых.

Точный срок удвоения считается через логарифм: t = ln 2 / ln(1 + r). Сравнение с приближениями:

Почему именно 72, если «правильная» константа ближе к 69,3 (это 100 × ln 2)? Два аргумента. Во-первых, при ежегодном начислении и ставках 6–10% правило 72 оказывается точнее: оно частично компенсирует погрешность приближения. Во-вторых, 72 удобно делится на 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 12, и считать в уме проще.

Правило 70 точнее на низких ставках, 1–4%, и при частой капитализации. Правило 69 (точнее 69,3) работает для непрерывного начисления. На ставках выше 20% все три правила начинают ошибаться в меньшую сторону: при 36% правило 72 обещает 2 года, а на деле выходит 2,25.

Ещё два применения, о которых редко вспоминают:

• правило 114 даёт срок утроения: при 12% это примерно 9,5 года (точный расчёт даёт 9,7);
• то же правило 72 работает для инфляции: при росте цен 8% в год покупательная способность денег падает вдвое примерно за 9 лет.

Быстро проверить срок удвоения и утроения для своей ставки можно в калькуляторе правила 72.

Сложный процент против вас: кредиты, комиссии, инфляция

Механизм симметричен. Если он умеет ускорять рост капитала, то так же ускоряет рост долга и потерь. Здесь три главных места.

Долги и кредиты

Начисляются ли проценты на проценты по кредиту? По общему правилу нет. Пункт 2 статьи 317.1 Гражданского кодекса признаёт ничтожным условие обязательства о начислении процентов на проценты. Исключения два: договоры банковского вклада и договоры, связанные с предпринимательской деятельностью сторон. Поэтому капитализация по вкладу законна, а сложные проценты в обычном потребительском кредите нет.

Но сложный процент к заёмщику возвращается через другую дверь: через перекредитование. Допустим, долг 100 000 ₽ под 30% годовых не гасится, а каждый год закрывается новым займом на сумму долга вместе с процентами:

Формально ни в одном договоре нет процентов на проценты. Фактически вчерашние проценты стали сегодняшним телом долга, и по правилу 72 при 30% долг удваивается чуть больше чем за 2,5 года. Именно так растут долговые спирали из кредитных карт и займов. Рассчитать платёж и переплату по конкретному кредиту можно в кредитном калькуляторе.

Комиссии

Комиссия управляющего или фонда списывается каждый год с суммы активов, поэтому её эффект тоже сложный. Допустим, 1 000 000 ₽ вложены на 20 лет, рынок даёт условные 10% в год, а разница только в комиссии:

Полтора процента в год выглядят безобидно. За 20 лет они съедают почти 1,5 млн ₽, а это больше стартового капитала. При выборе фонда комиссия важнее, чем красивый график за прошлый год.

Инфляция

Инфляция работает как сложный процент со знаком минус: рост цен каждого года накладывается на рост предыдущего. При инфляции 8% в год 100 000 ₽ через 9 лет покупают столько же, сколько сегодня 50 000 ₽, а через 20 лет примерно столько же, сколько сегодня 21 500 ₽. Как рост цен считается и почему официальная цифра не совпадает с ощущениями, разобрано в статье об инфляции.

Отсюда практическое правило: смотреть нужно на реальную доходность, то есть за вычетом инфляции. Вклад под 10% при инфляции 8% увеличивает покупательную способность денег примерно на 1,9% в год, а не на 10%. Подробнее о том, как считать доход в процентах и сравнивать инструменты, в статье про доходность инвестиций.

Как посчитать сложный процент в Excel и Google Таблицах

Для разового вложения хватит обычной формулы со степенью. Если в ячейке A1 сумма, в B1 годовая ставка, в C1 число лет, в D1 число начислений в год:

`` =A1*(1+B1/D1)^(C1*D1) ``

Для регулярных взносов удобнее встроенная функция. В русском Excel она называется БС (будущая стоимость), в английском FV. Синтаксис:

`` =БС(ставка; кпер; плт; [пс]; [тип]) ``

• ставка: процент за один период; при ежемесячных взносах годовую ставку делят на 12;
• кпер: общее число периодов, при ежемесячных взносах на 20 лет это 240;
• плт: взнос за период, одинаковый на всём сроке;
• пс: необязательная стартовая сумма;
• тип: необязательный, 0 или пусто означает взносы в конце периода, 1 в начале.

Главная ловушка функции в знаках. Excel считает деньги, которые вы отдаёте, отрицательными, а получаемые положительными. Поэтому взнос и стартовая сумма пишутся с минусом, иначе результат выйдет отрицательным.

Пример 2 из раздела выше в одну строку:

`` =БС(10%/12; 240; -5000) ``

Результат 3 796 844,18 ₽. Со стартовой суммой 100 000 ₽:

`` =БС(10%/12; 240; -5000; -100000) ``

Результат 4 529 651,54 ₽. Если взносы вносятся в начале месяца, в конце добавляется пятый аргумент: =БС(10%/12; 240; -5000; 0; 1) даёт 3 828 484,55 ₽.

В Google Таблицах функция называется FV, аргументы и порядок те же: =FV(10%/12; 240; -5000; -100000). Разделитель аргументов зависит от языка таблицы: в русской локали точка с запятой, в английской запятая.

Чтобы построить таблицу сложного процента по годам, удобнее не функция, а столбец с формулой. В A2 год, в B2 сумма на начало, в C2 формула =B2*(1+F1), где в F1 ставка; ссылку на F1 нужно закрепить клавишей F4, чтобы она не съезжала при копировании. Следующая строка берёт итог предыдущей. Остаётся протянуть формулу на 30 строк, выделить столбец и вставить линейный график: та самая клюшка перед глазами.

Как заставить сложный процент работать на себя

Формулы честно показывают, от чего зависит результат, и большая часть этих рычагов в руках самого человека:

• начинать рано: 10 лишних лет в примере с взносами по 5 000 ₽ дают разницу между 3,8 и 11,3 млн ₽;
• не снимать доход: проценты, купоны и дивиденды, потраченные сразу, выключают сложный процент;
• следить за комиссиями: каждый процент комиссии в год за 20 лет отнимает заметную долю итога;
• считать в реальных деньгах: доходность ниже инфляции означает, что капитал тает, просто медленно;
• не верить обещаниям: 3–5% в месяц по правилу 72 означают удвоение каждые 14–24 месяца, и никакой честный инструмент такого не гарантирует.

Последний пункт особенно важен. Сложный процент часто используют в рекламе финансовых пирамид: берут нереальную ставку, умножают на 10 лет и показывают миллионы. Формула при этом верная, а вот ставка выдуманная.

Где взять ставку для своих расчётов? Для вклада и накопительного счёта её называет банк, но только на срок договора. Для акций и фондов никакой гарантированной ставки нет: доходность скачет год от года, и в формулу подставляется условное среднее, которое может не сбыться. Чтобы прикинуть, сколько капитала нужно для жизни на проценты, используется та же математика, она разобрана в статье про пассивный доход.

Итог: сложный процент вознаграждает время и терпение. Ставка на него влияет, но сильнее всего влияет то, сколько лет деньги не трогают.